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寫這篇文章主要是企圖說明對於一個問題或一個系統
如何建立快速的想法、如何建立整體的概貌
雖然標題下成這樣，但我實在沒辦法說出我會什麼會這麼想
我只能舉兩個例子，讓大家瞧瞧我怎麼看待一個問題
一、大家可能聽說過世界上任兩人之間，只要透過六人就可建立關係
然而世界上有六十億人口，只透過六人似乎很不可思議
但想過之後便會發現，「六」這個答案並不讓人意外
如果要找尋自己與世上某一人的關係，當然是透過朋友
以我自身的情況做參考，我猜一般人的朋友數量約三十到五十人之譜，假設說三十人好了
透過朋友，我可以跟三十乘以三十，也就是九百人建立關係
再透過朋友的朋友，我可以跟九百乘以三十，也就是二萬七千人建立關係
以此類推，若要與世上任一人產生連結，所需透過的人數就是三十的多少次方等於世界總人口（六十億）
答案是6.6
若每人的朋友數以五十計算，那這答案是5.8
所以透過這樣簡單的計算可以得知，不論朋友數多（50），或朋友數少（30）
要與世上任兩人產生連結，透過的人數大約就是六上下（5.8～6.6）
當然這只是很簡單的初步估計，實際上朋友之間會有共同的朋友
因此不能很單純地用次方來計算
但這邊只是讓自己對這問題，在數量級上有個概念
所有複雜情況一律簡化不予考慮
不論情況怎麼變（朋友數多或少，世界總人口有多少），透過的人數大概就是個位數
不可能到幾十或幾百
二、 這個例子比較實際，下面的微分方程式描述著一個雙星系統內，
主星與伴星如何互動（伴星繞主星運行時，軌道如何變化等等）
對於雙星系統我們可用地球與月球為例，地球是主星，月球是伴星
下述討論我們以地球與月球做例子
上述方程式中， a 是半長軸， 可以想成地球與月球之間的距離（38萬公里）
e 是離心率，e=0 代表軌道為圓形，數值越接近一，軌道越橢圓（0 < e < 1）
Ω 是 地球自轉速度，這可以想成地球每單位時間（每秒、每分、或每小時等）轉幾圈（一天一圈）
ω 是月球繞地球的公轉速度（27天一圈），M 是地球質量，
I 是地球的轉動慣量（有點像是質量的東西，但轉動慣量代表的是物體可被改變轉動狀態的難度）
R 是地球半徑（6376 km），q 是月球對地球的質量比（1：81）
t 是時間，k 與 T 均為正的常數
da/dt 表示地球與月球之間距離對時間的變化，若為正，則距離隨時間變大
若為負，則距離隨時間變小
de/dt 表示離心率對時間的變化，若為正，則離心率隨時間變大，也就是軌道變得越來越橢圓
若為負，則離心率隨時間變小，也就是軌道變得越來越圓
dΩ/dt 表示地球自轉速度對時間的變化，若為正，則自轉隨時間變快
若為負，則自轉隨時間變慢（I 是常數，所以可以拿到括弧外面）
這一組聯立方程式描述地球與月球之間的距離、軌道形狀、與地球自轉速度如何互相影響變化
（上面一些物理量我採用較不精確，但概念上較為容易理解的定義）
這聯立方程式當然有它的由來（J.-P. Zahn, Astron. Astrophys. 57, 383-394, 1977）
但這並不是這邊關心的問題
問題是，假設說手中有這麼個聯立微分方程式，要怎麼處理？
我猜絕大多數人應該會想解聯立微分方程式
這是個方法，但不是唯一的方法
這邊示範一下，除了解方程式，還可以怎麼做
（示範如何不解微分方程式，卻又能從中挖出資訊）
1. 簡化。當一個式子 A=Bx(C+D+E)，其中 C ～1，D～0.1，E～0.01 時
我便把式子簡化為 A=BxC，D 跟 E 直接扔掉
當然，上述的聯立方程式我已經簡化了
2. 看第三個式子，會發現一個很有趣的地方
當 Ω > ω 時，第三式右邊是負的，也就是說 dΩ/dt < 0
這告訴我們當地球自轉速度大於月球公轉速度時（Ω > ω），地球自轉速度會減慢（dΩ/dt < 0）
相反地，若 Ω < ω，則第三式右邊是正的，dΩ/dt > 0，也就是說 Ω 會隨時間增加
而此種 Ω 對時間的變化，直到 Ω = ω 才會停止（當兩者相等時，第三式右式為零 => dΩ/dt = 0）
從這兩點可得知，不管 Ω 是大於 ω，還是小於 ω，最後都會變得跟 ω 相同
（我們只看得到月球的正面，正是這個原因。
因為月球自轉速度已經與月球繞地球速度相同了(=地球繞月球速度，嚴格來說地月兩者互繞)
月球在天空走了多少角度，月面就會往地球轉多少角度，因此我們永遠只看的到月球的某一面。）
3. 同理，看第一式可以發現，當 Ω > ω 時（1- Ω/ω < 0），da/dt > 0
這就是說當地球自轉速度大於月球公轉速度時（Ω > ω），月球離地球會越來越遠（da/dt > 0）
相反地，當 Ω < ω 時，da/dt < 0，也就是說兩者會越來越靠近
4. 從第二式可以發現，當 Ω/ω > 18/11 時，de/dt > 0，也就是說軌道會越來越橢圓
而當 Ω/ω < 18/11 時，de/dt < 0，也就是說軌道會越來越圓
但從第二點我們知道，Ω 最終會等於 ω（Ω/ω = 1），因此離心率 e 最終會隨時間減少
也就是說，不論剛開始情況如何，軌道最終會變成圓形
5. 地球自轉速度與月球公轉速度同步（Ω = ω）的時間，可用下列物理量估算
Ω - ω 為地球自轉速度與月球公轉速度兩者之間的差，而 dΩ/dt 為每單位時間內地球自轉速度的改變量
因此兩者相除代表的意義便是，地球自轉速度變得與月球公轉速度相同所需要花的時間，
把第三式的 Ω - ω 移到左邊，I 移到右邊變可得上式，而
可代表軌道變成圓形（e=0）所需要花的時間，這邊會有 63/4 是由於我們假設 Ω/ω = 1
可以做這種假設是因為地球自轉速度與月球公轉速度同步比軌道變成圓形來得快，為什麼？
上面兩式我們可以把前面的常數還有 k, T 扔掉
至於 I，它差不多等於 MR^2，只是差個常數，因此MR^2/I 也可以扔掉不管
而月球與地球質量比 q 約為 1/81，因此 1+ q 大約等於 1
所以上式除以下式可得 q(R/a)^-2，
而 R=6376 km，a = 380000 km，q = 1/81，因此 q(R/a)^-2 = 0.0228
這代表地球自轉速度與月球公轉速度同步所需的時間只有軌道變成圓形的0.0228倍
也就是說地球自轉速度與月球公轉速度同步約比軌道變成圓形快了 50 倍（43.85）
從上述這些我們知道，地球與月球的自轉均會減慢，而月球的自轉速度會先與公轉速度同步
同時兩者距離越來越遠。剛開始月球軌道會漸漸變得橢圓
隨著地球自轉速度減慢，軌道又會漸漸變成圓形
接著地球自轉會與月球公轉速度同步，同時兩者距離不再增加
最終月球軌道變成圓形
獲得了這些資訊，但我有解微分方程式嗎？並沒有
我所做的僅有正負號的判斷，簡化、 以及一些四則運算
因此，光靠觀察微分方程式，便可在很短的時間內獲得上述資訊，得到關於系統的一些直覺性概念
有時候，光是方程式本身就可以告訴我們很多事情
以前我看到方程式也是不管三七二十一就硬解，
解出來之後畫成圖卻掌握不到什麼規律，因為這種複雜的方程式，解通常都很亂
最後，我想說的是，方程式是做為系統的一種描述
我們最終的目的是了解這個系統的特徵，對於其中變化的掌握等等
解方程式，只是其中一種途徑，而不是目的
如何建立快速的想法、如何建立整體的概貌
雖然標題下成這樣，但我實在沒辦法說出我會什麼會這麼想
我只能舉兩個例子，讓大家瞧瞧我怎麼看待一個問題
一、大家可能聽說過世界上任兩人之間，只要透過六人就可建立關係
然而世界上有六十億人口，只透過六人似乎很不可思議
但想過之後便會發現，「六」這個答案並不讓人意外
如果要找尋自己與世上某一人的關係，當然是透過朋友
以我自身的情況做參考，我猜一般人的朋友數量約三十到五十人之譜，假設說三十人好了
透過朋友，我可以跟三十乘以三十，也就是九百人建立關係
再透過朋友的朋友，我可以跟九百乘以三十，也就是二萬七千人建立關係
以此類推，若要與世上任一人產生連結，所需透過的人數就是三十的多少次方等於世界總人口（六十億）
答案是6.6
若每人的朋友數以五十計算，那這答案是5.8
所以透過這樣簡單的計算可以得知，不論朋友數多（50），或朋友數少（30）
要與世上任兩人產生連結，透過的人數大約就是六上下（5.8～6.6）
當然這只是很簡單的初步估計，實際上朋友之間會有共同的朋友
因此不能很單純地用次方來計算
但這邊只是讓自己對這問題，在數量級上有個概念
所有複雜情況一律簡化不予考慮
不論情況怎麼變（朋友數多或少，世界總人口有多少），透過的人數大概就是個位數
不可能到幾十或幾百
二、 這個例子比較實際，下面的微分方程式描述著一個雙星系統內，
主星與伴星如何互動（伴星繞主星運行時，軌道如何變化等等）
對於雙星系統我們可用地球與月球為例，地球是主星，月球是伴星
下述討論我們以地球與月球做例子
上述方程式中， a 是半長軸， 可以想成地球與月球之間的距離（38萬公里）
e 是離心率，e=0 代表軌道為圓形，數值越接近一，軌道越橢圓（0 < e < 1）
Ω 是 地球自轉速度，這可以想成地球每單位時間（每秒、每分、或每小時等）轉幾圈（一天一圈）
ω 是月球繞地球的公轉速度（27天一圈），M 是地球質量，
I 是地球的轉動慣量（有點像是質量的東西，但轉動慣量代表的是物體可被改變轉動狀態的難度）
R 是地球半徑（6376 km），q 是月球對地球的質量比（1：81）
t 是時間，k 與 T 均為正的常數
da/dt 表示地球與月球之間距離對時間的變化，若為正，則距離隨時間變大
若為負，則距離隨時間變小
de/dt 表示離心率對時間的變化，若為正，則離心率隨時間變大，也就是軌道變得越來越橢圓
若為負，則離心率隨時間變小，也就是軌道變得越來越圓
dΩ/dt 表示地球自轉速度對時間的變化，若為正，則自轉隨時間變快
若為負，則自轉隨時間變慢（I 是常數，所以可以拿到括弧外面）
這一組聯立方程式描述地球與月球之間的距離、軌道形狀、與地球自轉速度如何互相影響變化
（上面一些物理量我採用較不精確，但概念上較為容易理解的定義）
這聯立方程式當然有它的由來（J.-P. Zahn, Astron. Astrophys. 57, 383-394, 1977）
但這並不是這邊關心的問題
問題是，假設說手中有這麼個聯立微分方程式，要怎麼處理？
我猜絕大多數人應該會想解聯立微分方程式
這是個方法，但不是唯一的方法
這邊示範一下，除了解方程式，還可以怎麼做
（示範如何不解微分方程式，卻又能從中挖出資訊）
1. 簡化。當一個式子 A=Bx(C+D+E)，其中 C ～1，D～0.1，E～0.01 時
我便把式子簡化為 A=BxC，D 跟 E 直接扔掉
當然，上述的聯立方程式我已經簡化了
2. 看第三個式子，會發現一個很有趣的地方
當 Ω > ω 時，第三式右邊是負的，也就是說 dΩ/dt < 0
這告訴我們當地球自轉速度大於月球公轉速度時（Ω > ω），地球自轉速度會減慢（dΩ/dt < 0）
相反地，若 Ω < ω，則第三式右邊是正的，dΩ/dt > 0，也就是說 Ω 會隨時間增加
而此種 Ω 對時間的變化，直到 Ω = ω 才會停止（當兩者相等時，第三式右式為零 => dΩ/dt = 0）
從這兩點可得知，不管 Ω 是大於 ω，還是小於 ω，最後都會變得跟 ω 相同
（我們只看得到月球的正面，正是這個原因。
因為月球自轉速度已經與月球繞地球速度相同了(=地球繞月球速度，嚴格來說地月兩者互繞)
月球在天空走了多少角度，月面就會往地球轉多少角度，因此我們永遠只看的到月球的某一面。）
3. 同理，看第一式可以發現，當 Ω > ω 時（1- Ω/ω < 0），da/dt > 0
這就是說當地球自轉速度大於月球公轉速度時（Ω > ω），月球離地球會越來越遠（da/dt > 0）
相反地，當 Ω < ω 時，da/dt < 0，也就是說兩者會越來越靠近
4. 從第二式可以發現，當 Ω/ω > 18/11 時，de/dt > 0，也就是說軌道會越來越橢圓
而當 Ω/ω < 18/11 時，de/dt < 0，也就是說軌道會越來越圓
但從第二點我們知道，Ω 最終會等於 ω（Ω/ω = 1），因此離心率 e 最終會隨時間減少
也就是說，不論剛開始情況如何，軌道最終會變成圓形
5. 地球自轉速度與月球公轉速度同步（Ω = ω）的時間，可用下列物理量估算
Ω - ω 為地球自轉速度與月球公轉速度兩者之間的差，而 dΩ/dt 為每單位時間內地球自轉速度的改變量
因此兩者相除代表的意義便是，地球自轉速度變得與月球公轉速度相同所需要花的時間，
把第三式的 Ω - ω 移到左邊，I 移到右邊變可得上式，而
可代表軌道變成圓形（e=0）所需要花的時間，這邊會有 63/4 是由於我們假設 Ω/ω = 1
可以做這種假設是因為地球自轉速度與月球公轉速度同步比軌道變成圓形來得快，為什麼？
上面兩式我們可以把前面的常數還有 k, T 扔掉
至於 I，它差不多等於 MR^2，只是差個常數，因此MR^2/I 也可以扔掉不管
而月球與地球質量比 q 約為 1/81，因此 1+ q 大約等於 1
所以上式除以下式可得 q(R/a)^-2，
而 R=6376 km，a = 380000 km，q = 1/81，因此 q(R/a)^-2 = 0.0228
這代表地球自轉速度與月球公轉速度同步所需的時間只有軌道變成圓形的0.0228倍
也就是說地球自轉速度與月球公轉速度同步約比軌道變成圓形快了 50 倍（43.85）
從上述這些我們知道，地球與月球的自轉均會減慢，而月球的自轉速度會先與公轉速度同步
同時兩者距離越來越遠。剛開始月球軌道會漸漸變得橢圓
隨著地球自轉速度減慢，軌道又會漸漸變成圓形
接著地球自轉會與月球公轉速度同步，同時兩者距離不再增加
最終月球軌道變成圓形
獲得了這些資訊，但我有解微分方程式嗎？並沒有
我所做的僅有正負號的判斷，簡化、 以及一些四則運算
因此，光靠觀察微分方程式，便可在很短的時間內獲得上述資訊，得到關於系統的一些直覺性概念
有時候，光是方程式本身就可以告訴我們很多事情
以前我看到方程式也是不管三七二十一就硬解，
解出來之後畫成圖卻掌握不到什麼規律，因為這種複雜的方程式，解通常都很亂
最後，我想說的是，方程式是做為系統的一種描述
我們最終的目的是了解這個系統的特徵，對於其中變化的掌握等等
解方程式，只是其中一種途徑，而不是目的
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